Suites dÃľfinies par rÃľcurrence

Suites définies par récurrence $-$ problèmes standard

Corrigé

Ce fichier d'exercices fait suite à la vidéo suites : petite étude (lien Youtube).

Plusieurs méthodes différentes, vues ou non dans la vidéo, sont présentées ici, pour attaquer les suites du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Table des matières

Énoncé 2

Méthode 1

avec une récurrence

. 3

Méthode 2

avec le signe de

f (x) - x

sur une suite arithmético-géométrique. 4

Méthode 3

avec les variations de

f

sur une suite homographique. 5

Méthode 4

avec une suite auxiliaire

sur une suite arithmético-géométrique. 7

Suites arithmético-géométriques, une autre situation : les « toiles d'araignées ». 8

Énoncé

Méthode 1

avec une récurrence

.

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = 4 u_{n} + 2$ et $u_{0} = 0$
1. Calculer $u_{1}, u_{2}$ (en calcul mental).
2. Démontrer que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n} \leq - \frac{2}{3}$ .
3. Démontrer par récurrence sur $n$ que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n + 1} < u_{n}$ .
4. Supposons que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , donner la valeur de $ℓ$ .
5. $(u_{n})$ est-elle convergente ? divergente ?
Méthode 2

avec le signe de $f (x) - x$

sur une suite arithmético-géométrique.

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{3} + 6$ et $u_{0} = 27$ .
1. Calculer $u_{1}, u_{2}$ (en calcul mental).
2. Démontrer que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n} \geq 9$ .
3. Donner le signe de $f (x) - x$ suivant $x$ , sachant que $f$ est définie sur $ℝ$ par : $f (x) = \frac{x}{3} + 6$ .
4. Démontrer sans récurrence que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n + 1} < u_{n}$ .
5. Supposons que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , donner la valeur de $ℓ$ .
6. $(u_{n})$ est-elle convergente ? divergente ?
Méthode 3

avec les variations de $f$

sur une suite homographique.

On considère la suite $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \frac{4 u_{n} + 3}{u_{n} + 2}$ .
1. Calculer mentalement $u_{1}, u_{2}$ .
2. Vérifier que la suite est toujours défine, i.e. que $u_{n}$ ne vaut jamais $- 2$ .
  
  Indication : vérifier par une récurrence simple que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n} \geq 0$ .
3. Donner le tableau de variations sur $ℝ_{+}$ de la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{4 x + 3}{x + 2}$ .
4. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ , on a $0 \leq u_{n} \leq 3$ .
5. Montrer par récurrence que la suite $(u_{n})$ est croissante.
  
  Indication : montrer que $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ par récurrence en utilisant le fait que $f ↗$ .
6. La suite $(u_{n})$ est-elle convergente ou divergente ? Si elle converge, déterminer sa limite.
Méthode 4

avec une suite auxiliaire

sur une suite arithmético-géométrique.

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = 0.4 \times u_{n} + 6$ et $u_{0} = - 10$ .
1. Calculer mentalement $u_{1}, u_{2}$ .
2. Pour tout $n \geq 0$ on pose $v_{n} = u_{n} - 10$ . Calculer mentalement $v_{0}, v_{1}, v_{2}$ .
3. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et donner son terme général.
4. En déduire le terme général de $(u_{n})$ , puis les variations et la convergence de $(u_{n})$ .
Suites arithmético-géométriques, une autre situation : les « toiles d'araignées ».

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = - \frac{u_{n}}{3} + 16$ et $u_{0} = 21$ .
1. Calculer mentalement $u_{1}, u_{2}$ .
2. Démontrer que $u_{n} > 12 \Rightarrow u_{n + 1} < 12$ .
3. Étudier comme précédemment la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = u_{n} - 12$ et conclure.

Méthode 1

avec une récurrence

.

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = 4 u_{n} + 2$ et $u_{0} = 0$

Calculer $u_{1}, u_{2}$ (en calcul mental).

$u_{1} = 4 \times u_{0} + 2 = 2$ ;

$u_{2} = 4 \times 2 + 2 = 10$ ;

$u_{3} = 4 \times 10 + 2 = 42$ .

Remarque 1. Pour avoir les autres valeurs sur la calculatrice, taper 0 ↩ puis $\times$ 4+2↩ puis ↩↩↩↩ jusqu'à obtenir le rang voulu.
Démontrer que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n} > - \frac{2}{3}$ .
- initialisation : bien sûr vrai pour $n = 0$ puisque $0 > - \frac{2}{3}$ ;
- hérédité : supposons que c'est vrai au rang $n$ , i.e. $u_{n} > - \frac{2}{3}$ et on va reconstruire $u_{n + 1}$ à partir de là :
  
  $u_{n} > - \frac{2}{3} \Rightarrow 4 u_{n} > - \frac{2}{3} \times 4 \Leftrightarrow 4 u_{n} > - \frac{8}{3} \Rightarrow 4 u_{n} + 2 > - \frac{8}{3} + 2 \Leftrightarrow u_{n + 1} > - \frac{2}{3}$ ;
- conclusion : on a montré que pour tout $n \geq 0$ : $u_{n} > - \frac{2}{3}$ .
Démontrer par récurrence sur $n$ que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n + 1} > u_{n}$ .
- Initialisation : c'est vrai en $n = 0$ car effectivement $2 > 0$ ;
- hérédité : supposons $u_{n + 1} > u_{n}$ pour une certaine valeur de $n$ , alors, comme précédemment, on va reconstruire $u_{n + 1}$ à droite, et $u_{n + 2}$ à gauche :
  
  $u_{n + 1} > u_{n} \Rightarrow 4 u_{n + 1} > 4 u_{n} \Rightarrow 4 u_{n + 1} + 2 > 4 u_{n} + 2$ ce qui signifie exactement que $u_{n + 2} > u_{n + 1}$ ;
- conclusion : on a prouvé que pour tout $n \geq 0$ : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ , i.e. la suite $(u_{n})$ est croissante.
Supposons que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , donner la valeur de $ℓ$ .

Alors $ℓ$ vérifie $4 ℓ + 2 = ℓ \Leftrightarrow ℓ = - \frac{2}{3}$ .
$(u_{n})$ est-elle convergente ? divergente ?

La supposition que nous avons faite à la question précédente est fausse, car il est impossible d'avoir à la fois :
- $u_{n} > - \frac{2}{3}$ pour tout $n \geq 0$ ;
- $(u_{n})$ croissante ;
- $(u_{n})$ converge vers $- \frac{2}{3}$ .
Donc la suite $(u_{n})$ est divergente.

Une suite croissante qui ne converge pas est non majorée : c'est du bon sens, car, étant croissante, si elle était non majorée, elle serait convergente (toute suite croissante majorée converge).

Remarque 2. La phrase précédente s'appelle « contraposée ». C'est un résultat de logique qui s'énonce ainsi : si l'on est sûr que $A \Rightarrow B$ alors on peut être sur que $non B \Rightarrow non A$ .

Exemple : « être supérieur à 2 » $\Rightarrow$ « être supérieur à 1 ». Donc (contraposée) : « être inférieur à 1 » $\Rightarrow$ « être inférieur à 2 ».

Ici, en supposant $(u_{n})$ croissante, le théorème du cours indique que majorée $\Rightarrow$ convergente. La contraposée du théorème indique que divergente $\Rightarrow$ non majorée (divergente est le contraire de convergente et le mot majorée ne possède pas de contraire dans le dictionnaire).

La contraposée d'un théorème est toujours vraie.

Et une suite croissante non majorée a pour limite $+ \infty$ : ceci se démontre assez techniquement si votre enseignant vous a fait la définition de « tendre vers $+ \infty$ » avec la notation $ε$ . Je ne le fais pas ici, on l'admet.

Méthode 2

avec le signe de $f (x) - x$

sur une suite arithmético-géométrique.

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{3} + 6$ et $u_{0} = 27$ .

Calculer $u_{1}, u_{2}$ (en calcul mental).

$u_{1} = \frac{u_{0}}{3} + 6 = \frac{27}{3} + 6 = 9 + 6 = 15$ .

$u_{2} = \frac{u_{1}}{3} + 6 = \frac{15}{3} + 6 = 5 + 6 = 11$ .
Démontrer que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n} \geq 9$ .
- initialisation : c'est vrai pour $u_{0}$ car $u_{0} = 27$ et $27 \geq 9$ ;
- hérédité : si $u_{n} \geq 9$ pour une certaine valeur de $n$ , alors $\frac{u_{n}}{3} \geq 3$ donc $\frac{u_{n}}{3} + 6 \geq 9$ i.e. $u_{n + 1} \geq 9$ ;
- conclusion : la propriété « $u_{n} \geq 9$ » est héréditaire et initialisée à $n = 0$ donc vraie pour tout $n \geq 0$ .

Donner le signe de $f (x) - x$ suivant $x$ , sachant que $f$ est définie sur $ℝ$ par : $f (x) = \frac{x}{3} + 6$ .

$f (x) - x = \frac{x}{3} + 6 - x = \frac{- 2 x}{3} + \frac{18}{3} = \frac{2 (9 - x)}{3}$ donc

$\begin{array}{cl} x & \begin{array}{c} - \infty \end{array} \begin{array}{c} \end{array} \begin{array}{c} 9 \end{array} \begin{array}{c} \end{array} \begin{array}{c} + \infty \end{array} \\ f (x) - x & \begin{array}{c} \end{array} \begin{array}{c} + \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} - \end{array} \begin{array}{c} \end{array} \end{array} .$

Démontrer sans récurrence que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n + 1} < u_{n}$ .

Étudions le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ . On a $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ .

Mais on sait que pour tout rang $n$ on a $u_{n} \geq 9$ , or dans $[9, + \infty [$ on a $f (x) - x \leq 0$ comme l'atteste le tableau de la question précédente.

Ainsi, pour tout rang $n$ on a $f (u_{n}) - u_{n} \leq 0$ .

Ceci prouve finalement que $u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$ donc la suite $(u_{n})$ est décroissante.
Supposons que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , donner la valeur de $ℓ$ .

Le théorème de notre cours affirme que si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ alors $ℓ$ est un point fixe de $f$ , c'est-à-dire que $f (ℓ) = ℓ$ . Pour appliquer ce théorème, je me rappelle toutefois qu'il faut vérifier que la fonction $f$ est continue, ce qui est avéré ici puisque $f$ est une fonction affine.

Ainsi je suis amené à résoudre l'équation $\frac{ℓ}{3} + 6 = ℓ$ qui est une équation du premier degré à une inconnue, maîtrisée depuis le collège. Elle a pour solution $ℓ = 9$ .
$(u_{n})$ est-elle convergente ? divergente ?

$(u_{n})$ est décroissante minorée par 9 d'après les questions précédentes.

Un autre théorème de mon cours afirme qu'elle est donc convergente.

Sa seule limite possible étant 9, elle est convergente vers 9.

Méthode 3

avec les variations de $f$

sur une suite homographique.

On considère la suite $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \frac{4 u_{n} + 3}{u_{n} + 2}$ .

Calculer mentalement $u_{1}, u_{2}$ .

$u_{1} = \frac{4 \times 0 + 3}{0 + 2} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

$u_{2} = \frac{4 \times \frac{3}{2} + 3}{\frac{3}{2} + 2} = \frac{9}{3.5} = \frac{18}{7}$ .
Vérifier que la suite est toujours défine, i.e. que $u_{n}$ ne vaut jamais $- 2$ .

Indication : vérifier par une récurrence simple que pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n} \geq 0$ .

C'est une récurrence immédiate car $u_{0} = 0$ et $u_{n} \geq 0 \Rightarrow {\begin{cases} 4 u_{n} + 3 \geq 0 \\ u_{n} + 2 \geq 0 \end{cases} . \Rightarrow \frac{4 u_{n} + 3}{u_{n} + 2} \geq 0$ .

Donner le tableau de variations sur $ℝ_{+}$ de la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{4 x + 3}{x + 2}$ .

$f^{'} (x) = {(\frac{4 x + 3}{x + 2})}^{'} = \frac{4 (x + 2) - (4 x + 3) \times 1}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$ toujours positif sur $ℝ_{+}$ (la valeur interdite n'est pas dans $ℝ_{+}$ ) donc $f ↗$ sur $ℝ_{+}$ .

Remarque 3.

On remarque pour la suite que $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f (x) = \frac{4 x + 3}{x + 2}$ .
L'intervalle $ℝ_{+}$ proposé est pertinent puisqu'on ne fait agir $f$ que sur $u_{n}$ or tous les $u_{n}$ sont positifs.
On ne peut pas affirmer que $f$ croissante sur $ℝ$ tout entier car en $- 2$ (qui est la valeur interdite), la fonction $f$ fait une sorte de « saut » de $+ \infty$ à $- \infty$ (Figure 1)

Figure 1. homographique-pb-suite.png

Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ , on a $0 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ .
- initialisation : immédiate puisque $u_{0} = 0$ ;
- hérédité : je suppose $0 \leq u_{n} \leq 3$ alors $f (0) \leq f (u_{n}) \leq f (3)$ parce que $f$ est croissante sur $[0, 3] \subset ℝ_{+}$ .
  
  soit : $\frac{3}{2} ⩽ f (u_{n}) ⩽ \frac{15}{5} = 3$
  
  donc a fortiori $0 ⩽ f (u_{n}) ⩽ 3$ c'est-à-dire $0 ⩽ u_{n + 1} ⩽ 3$ .
  
  Remarque 4. $a ⩽ b$ et $f$ croissante sur $[a, b]$ impliquent $f (a) ⩽ f (b)$ .
  
  C'est la définition de « $f$ croissante ».
  
  L'implication n'est pas forcément vrai si $f$ n'est pas croissante, contre exemples :
  - $- 3 \leq 2$ mais si $u (x) = x^{2}$ alors $u (- 3) > u (2)$ ;
  - ou bien si $v (x) = \frac{1}{1 - x}$ alors $v (- 3) = \frac{1}{4} > - 1 = v (2)$ .
Montrer par récurrence que la suite $(u_{n})$ est croissante.

Indication : montrer que $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ par récurrence en utilisant le fait que $f ↗$ .
- initialisation : $u_{1} = 1.5 \geq u_{0}$ donc la propriété $𝒫_{n}$ : « $u_{n + 1} \geq u_{n}$ » est vraie en $n = 0$ (autrement dit, $𝒫_{0}$ est vraie) ;
- hérédité : je suppose $𝒫_{n}$ vraie pour un certain $n$ (i.e. je suppose $u_{n + 1} \geq u_{n}$ ) alors vu que $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ sont dans $[0, 3]$ et que dans cet intervalle $f$ est croissante, je peux appliquer $f$ à l'inégalité, soit $f (u_{n + 1}) \geq f (u_{n})$ , ce qui signifie $u_{n + 2} \geq u_{n + 1}$ ce qui est exactement la propriété $𝒫_{n + 1}$ , et j'ai donc montré que $𝒫_{n} \Rightarrow 𝒫_{n + 1}$ ;
- conclusion : la propriété $𝒫_{n}$ est vraie pour tout $n \geq 0$ ce qui signifie que la suite $(u_{n})$ est croissante.
La suite $(u_{n})$ est-elle convergente ou divergente ? Si elle converge, déterminer sa limite.

La suite $(u_{n})$ est croissante. D'autre part, elle est majorée par 3 (puisque tous les $u_{n}$ sont dans $[0, 3]$ ), et donc la suite $(u_{n})$ est CV.

Pour connaître la limite $ℓ$ j'applique le théorème qui affirme que :
- si $f$ continue ;
- si $(u_{n})$ est définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ (quelle que soit la valeur de $u_{0}$ ) ;
- si $(u_{n})$ CV vers une limite $ℓ$ ;
- alors : $f (ℓ) = ℓ$ .
Remarque 5. Les valeurs de $ℓ$ telles que $f (ℓ) = ℓ$ sont appelées points fixes de $f$ . Si la suite $(u_{n})$ CV c'est donc forcément vers un point fixe de $f$ .

Ici je résous donc $ℓ = \frac{4 ℓ + 3}{ℓ + 2} \Leftrightarrow ℓ (ℓ + 2) = 4 ℓ + 3 \Leftrightarrow ℓ^{2} - 2 λ - 3 = 0 \Leftrightarrow ℓ \in {- 1; 3}$ .

Vu que la suite $(u_{n})$ est coincée dans $[0, 3]$ elle ne peut pas converger vers $- 1$ .

Donc $ℓ = 3$ .

Remarque 6. Pour la question de la monotonie on pouvait procéder directement :

$u_{n + 1} - u_{n} = u_{n + 1} = - u_{n} = - \frac{u_{n} (u_{n} + 2)}{u_{n} + 2} = \frac{4 u_{n} + 3 - u_{n} (u_{n} + 2)}{u_{n} + 2} = \frac{- {(u_{n})}^{2} + 2 u_{n} + 3}{u_{n} + 2}$ .

On aimerait savoir si la quantité $- {(u_{n})}^{2} + 2 u_{n} + 3$ est positive.

Puisque de toutes façons, la quantité $u_{n} + 2$ est toujours positive d'après la question b.

Le quotient $u_{n + 1} - u_{n}$ est donc tojours du signe de $- {(u_{n})}^{2} + 2 u_{n} + 3$ .

Alors, étudions le trinome $- x^{2} + 2 x + 3$ et résolvons $- x^{2} + 2 x + 3 ⩾ 0$ . On trouve les racines $- 1$ et $3$ .

Donc $- x^{2} + 2 x + 3 ⩾ 0$ dans $[- 1, 3]$ et là $𝔹 𝕀 ℕ 𝔾 𝕆$ car $u_{n}$ est toujours dans $[0, 3]$ .

Et donc on a toujours $- {(u_{n})}^{2} + 2 u_{n} + 3 \geq 0$ donc $u_{n + 1} - u_{n} ⩾ 0$ .

Méthode 4

avec une suite auxiliaire

sur une suite arithmético-géométrique.

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = 0.4 \times u_{n} + 6$ et $u_{0} = - 10$ .

Calculer mentalement $u_{1}, u_{2}$ .

$u_{1} = 0.4 \times u_{0} + 6 = 0.4 \times (- 10) + 6 = - 4 + 6 = 2$ ;

$u_{2} = 0.4 \times u_{1} + 6 = 0.4 \times 2 + 6 = 6.8$ .
Pour tout $n \geq 0$ on pose $v_{n} = u_{n} - 10$ . Calculer mentalement $v_{0}, v_{1}, v_{2}$ .

$v_{0} = u_{0} - 10 = - 20$ ;

$v_{1} = u_{1} - 10 = - 8$ ;

$v_{2} = u_{2} - 10 = 6.8 - 10 = - 3.2$ .
Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et donner son terme général.

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 10$ car la formule $v_{n} = u_{n} - 10$ est vraie en tout rang, y compris en $n + 1$ .

$v_{n + 1} = 0.4 \times u_{n} + 6 - 10$ car on sait que $u_{n + 1} = 0.4 \times u_{n} + 6$ .

$v_{n + 1} = 0.4 u_{n} - 4$ car on simplifie, tout simplement.

$v_{n + 1} = 0.4 (u_{n} - 10)$ par simple factorisation.

$v_{n + 1} = 0.4 \times v_{n}$ car on se souvient que $v_{n} = u_{n} - 10$ .

On a démontré que $(v_{n})$ est géométrique de raison 0.4 et donc $v_{n} = v_{0} \times 0 . 4^{n}$ .

On remplace et donc $v_{n} = - 20 \times 0 . 4^{n}$ puisque $v_{0} = - 20$ .

Je vérifie : la formule donne $v_{1} = - 20 \times 0.4 = - 8$ c'est bon.
En déduire le terme général de $(u_{n})$ , puis les variations et la convergence de $(u_{n})$ .

On a pour tout $n$ la relation : $u_{n} = v_{n} + 10$ .

Ce qui donne $u_{n} = 10 - 20 \times 0 . 4^{n}$ . Je vérifie : la formule donne $u_{1} = 10 - 20 \times 0.4 = 10 - 8 = 2$ c'est bon.

Maintenant, les variations et la convergence :
- La suite $(0 . 4^{n})$ est décroissante et converge vers 0 (puisque $0.4 \in] 0, 1 [$ ).
- La suite $(- 20 \times 0 . 4^{n})$ est donc croissante (opposé d'une suite décroissante) et CV vers 0 aussi.
- La suite $(u_{n})$ est donc croissante et CV vers 10.

Suites arithmético-géométriques, une autre situation : les « toiles d'araignées ».

On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{n + 1} = - \frac{u_{n}}{3} + 16$ et $u_{0} = 21$ .

Calculer mentalement $u_{1}, u_{2}$ .

$u_{1} = - \frac{21}{3} + 16 = - 7 + 16 = 9$ ;

$u_{2} = - \frac{9}{3} + 16 = - 3 + 16 = 13$ .
Démontrer que $u_{n} > 12 \Rightarrow u_{n + 1} < 12$ .

$u_{n} > 12 \Rightarrow \frac{u_{n}}{3} > 4 \Rightarrow - \frac{u_{n}}{3} < - 4 \Rightarrow u_{n + 1} < - 4 + 16 = 12$ .
Étudier comme précédemment la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = u_{n} - 12$ et conclure.

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 12 = - \frac{u_{n}}{3} + 16 - 12 = - \frac{u_{n}}{3} + 4 = - \frac{1}{3} (u_{n} - 12) = - \frac{1}{3} v_{n}$ donc $(v_{n})$ géométrique de raison $- \frac{1}{3}$ .

Ainsi, on a pour tout $n \in ℕ$ la formule $v_{n} = v_{0} \times {(- \frac{1}{3})}^{n}$ or $v_{0} = u_{0} - 12 = 9$ .

D'où le terme général $u_{n} = v_{n} + 12 \Leftrightarrow \begin{array}{c} u_{n} = 9 \times {(- \frac{1}{3})}^{n} + 12 \end{array}$ .

Vérification : $u_{1} = 9 \times {(- \frac{1}{3})}^{1} + 12 = - 3 + 12 = 9$ c'est ok.

On a alors $(u_{n})$ convergente vers 12 car $- \frac{1}{3} \in] 0, 1 [\Rightarrow {(- \frac{1}{3})}^{n} \overset{n \to \infty}{\to} 0$ .

Cette suite converge en alternant à gauche et à droite de la limite 12.

Table des matières

Énoncé

Méthode 1 avec une récurrence .

Méthode 2 avec le signe de f(x)-x sur une suite arithmético-géométrique.

Méthode 3 avec les variations de f sur une suite homographique.

Méthode 4 avec une suite auxiliaire sur une suite arithmético-géométrique.

Suites arithmético-géométriques, une autre situation : les « toiles d'araignées ».

Méthode 1

avec une récurrence

.

Méthode 2

avec le signe de $f (x) - x$

sur une suite arithmético-géométrique.

Méthode 3

avec les variations de $f$

sur une suite homographique.

Méthode 4

avec une suite auxiliaire

sur une suite arithmético-géométrique.